Основные элементарные функции, их свойства и графики. Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Перечислить свойства функции как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится. В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций перечислить свойства функции схеме: ; поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты при необходимости смотрите статью ; четность и нечетность; ; ; промежутки выпуклости выпуклости вверх перечислить свойства функции вогнутости выпуклости внизточки перегиба при необходимости смотрите статью ; перечислить свойства функции и горизонтальные асимптоты; особые точки функций; особые свойства некоторых функций например, наименьший положительный период у тригонометрических функций. Если Вас интересует илито можете перейти к этим разделам теории. Основными элементарными функциями являются: постоянная функция константакорень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулойгде C — некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y — значение Постоянную функцию также называют константой. Графиком постоянной функции является прямая, перечислить свойства функции оси абсцисс и проходящая через точку с координатами 0,C. Область определения: все множество действительных чисел. Постоянная функция является четной. Область значений: множество, состоящее из единственного перечислить свойства функции Постоянная функция невозрастающая и неубывающая на то она и постоянная. Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла. Функция проходит через точку 0,C координатной плоскости. Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулойгде n — натуральное перечислить свойства функции, большее единицы. Корень n-ой степени, n - четное число. Перечислить свойства функции с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n. Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций иим соответствуют черная, красная и синяя линии. Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя. Свойства функции корень n-ой степени при четных n. Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел. Эта функция общего вида не является четной или нечетной. Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения. Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет. График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки перечислить свойства функции и 1,1. Корень n-ой степени, n - нечетное число. Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций иим соответствуют черная, красная и синяя кривые. При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид. Свойства функции корень n-ой перечислить свойства функции при нечетных n. Область определения: множество всех действительных чисел. Область значений функции: множество всех действительных чисел. Функция при перечислить свойства функции показателях корня возрастает на всей области определения. Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежуткеточка с координатами 0,0 — точка перегиба. График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки -1,-10,0 и 1,1. Степенная функция задается формулой вида. Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени. Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его перечислить свойства функции. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a. Свойства степенных функций с дробными иррациональными показателями как и вид графиков таких степенных функций зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы. В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем. Степенная функция с нечетным перечислить свойства функции показателем. На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций — черная перечислить свойства функции, — синяя линия, — красная линия, — зеленая линия. Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем. Функция нечетная, так как. Функция выпуклая при и вогнутая при кроме линейной функции. Точка 0;0 является точкой перегиба кроме линейной функции. Функция проходит через точки -1;-10;01;1. Степенная функция с четным положительным показателем. В качестве примера приведем графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия. Свойства степенной функции с четным положительным показателем. Функция четная, так как. Функция возрастает приубывает при. Функция проходит через точки -1;10;01;1. Степенная функция с нечетным отрицательным показателем. На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия, — зеленая линия. Перечислить свойства функции степенной функции с нечетным отрицательным показателем. Функция нечетная, так как. Функция выпуклая при и вогнутая при. Функция проходит через точки -1;-11;1. Перечислить свойства функции функция с четным отрицательным показателем. На рисунке изображены графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия. Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем. Функция четная, так как. Функция возрастает приубывает при. Функция проходит через точки -1;11;1. Перечислить свойства функции функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы. Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал. При этом оговариваются, что показатель степени a — несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и перечислить свойства функции анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий. Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем. При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид. Свойства степенной функции при. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Функция проходит через точки 0;01;1. Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы. Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем. Приведем графики степенных функций, заданных формулами черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно. При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид. Свойства степенной функции при. Функция не является ни перечислить свойства функции, ни нечетной, то есть она общего вида. Функция вогнутая приесли ; приесли. Функция проходит через точки 0;01;1. Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля. Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал. При этом оговариваются, что показатель степени a — несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий. Переходим к степенной функциикгода. Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций приприведем примеры графиков функций перечислить свойства функции, красная, синяя и зеленая кривые соответственно. Свойства перечислить свойства функции функции с показателем a. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Функция проходит через точку 1;1. Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы. Приведем примеры графиков степенных функций приони изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно. Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Перечислить свойства функции проходит через точку 1;1. Одной из основных элементарных функций является показательная функция. График показательной функциигде и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала. Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы. Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел:. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида. Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения. Функция проходит через точку 0;1. Переходим к перечислить свойства функции, когда основание показательной перечислить свойства функции больше единицы, то есть. В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций — синяя линия и — красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики перечислить свойства функции функции будут иметь схожий вид. Свойства показательной функции с основанием большим единицы. Область определения показательной функции:. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при. Функция проходит через точку 0;1. Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функцияперечислить свойства функции. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при. График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Начнем со случая, когда. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид. Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы. Область определения логарифмической функции:. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Логарифмическая функция убывает на всей области определения. Функция проходит через точку 1;0. Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы. Покажем графики логарифмических функций — синяя линия, — красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид. Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности. Областю перечислить свойства функции логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. Функция проходит через точку 1;0. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Все тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства. Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периодагде Т - период перечислить свойства функции, поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль. Теперь разберемся со всеми перечислить свойства функции функциями по-порядку. Изобразим график функции синус, его называют "синусоида". Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:. Функция обращается в ноль пригдеZ — множество целых чисел. Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть. Функция синус - нечетная, так как. Функция убывает привозрастает при. Функция синус имеет локальные максимумы в точкахлокальные минимумы в точках. Область определения функции косинус:. Функция обращается в ноль пригдеZ — множество целых чисел. Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно:. Функция косинус - четная, так как. Функция убывает привозрастает при. Функция вогнутая привыпуклая при. Область определения функции тангенс:гдеZ — множество целых чисел. Наименьший положительный период функции тангенс. Функция обращается в ноль пригдеZ — множество целых чисел. Функция тангенс - нечетная, так как. Функция вогнутая привыпуклая при. Наклонных и горизонтальных асимптот нет. Область определения функции котангенс:гдеZ — множество целых чисел. Поведение на границе области определения Следовательно, прямыегде являются вертикальными асимптотами. Функция обращается в ноль пригдеZ — множество целых чисел. Область значений функции котангенс:. Функция нечетная, так перечислить свойства функции. Функция котангенс вогнутая привыпуклая при. Наклонных и горизонтальных асимптот нет. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обратные тригонометрические функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства. Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно:. Функция арксинус - нечетная, так как. Функция вогнутая привыпуклая при. Точка перегиба 0; 0она же ноль функции. Область определения функции арккосинус:. Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида. Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при. Функция вогнутая привыпуклая при. Область значений функции арктангенс:. Функция арктангенс - нечетная, так как. Функция возрастает на всей области определения, то есть, при. Функция арктангенс вогнутая привыпуклая при. Точка перегиба 0; 0она же ноль функции. Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при. На чертеже они показаны зеленым цветом. Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел:. Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида. Функция убывает на всей области определения, то есть, при. Функция вогнутая привыпуклая при. Алгебра и начала анализа: Учеб. Справочник по элементарной математике. Алгебра и элементарные функции. Copyright © by cleverstudents Все права защищены. Охраняется законом об авторском праве.

Смотрите также: